理解波动（四）：将无限”叠加”为有限——边界条件

在“理解波动”系列的前三篇中，我们主要还是站在熟悉的数值工具——有限元方法的基础上来理解波动现象。实际上，正如有限的均质梁、杆能方便的获得解析解，无界的杆、梁甚至板也可以获得解析解。只是其求解思路与有界结构有所不同。在本文中，我们将展示无界结构的解经过一定的处理也可以获得有界结构的解，正如有界的模型经过一定处理（例如之前介绍过的人工边界条件）可以用以分析无界结构那样。在本文中，将采用纯解析的方法获得无界域上的波动解，然后将其处理为有界域上的响应。其中，对边界条件的处理和理解起到了至关重要的作用。

一维非齐次波动方程的解

当无界结构受外部激振力时，对应于非齐次偏微方程的求解。以一维波动方程为例，其非齐次形式写作：
$\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2}=f(x,t)$
初始条件：
$\frac{\partial u}{\partial t}(x,t=0)=\phi(x)$
$u(x,t=0)=\psi(x)$
这就构成了一维非齐次方程的定界问题，是一个初值问题。求解的方法据查有很多，下面这几张图给出一种用积分变换方法来做的思路：

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最终，其解为：

$u(x,t)=u^{(1)}(x,t)+u^{(2)}(x,t)$
$u^{(1)}(x,t) = \frac{1}{2}[\phi(x+at)-\phi(x-at)]+\frac{1}{2a}\int_{x+at}^{x-at}\psi(\xi)\xi$
$u^{(2)}(x,t) = \frac{1}{2a}\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{0}^{t}f(\xi-x,\tau)[H(\xi+a(t-\tau))-H(\xi-a(t-\tau))]\text{d}\tau\text{d}\xi$

其中， $u^{(1)}(x,t)$ 对应于有初始条件引起的响应，称为达朗贝尔公式。 $u^{(2)}(x,t)$ 是仅由外力引起的响应。 $H(x)$ 是在0点跳跃的单位阶跃函数。

边界条件：将无限域“叠加”到有限域

首先考虑半无界域，对于标准波动方程，在其右侧设置固支边界条件：
$u(x=L,t)=0$
在扰动到达边界之前，完全按照无界域的公式进行。而当扰动到达边界时，则再也无法按照无界域的解进行演化，因为边界方程规定了这里任意时刻都没有变形，如下图所示。这样，势必在边界上产生一个反射波，换言之，边界成为了新的“波源”，这个波源引起的扰动与原无限域上的扰动叠加在一起，构成了半无界域的响应。

为了满足固支边界条件，很容易发现，反射波需随时与到达边界上的波等大反向。这就像是在边界上树立了一道镜子，它的成像规律是生成等大倒立的虚像，如下图：

这样，真实半无界域上的一切都可以按照这种方式“投影”到虚像那一侧去，这其中也包括激振力和响应。换言之，此时系统相当于受两套相反激振力的无界结构。

考虑更复杂的情况，假如系统的另一侧也有一个相同类型的边界——此时系统成为有限结构。此时就相当于站在那种两侧都有镜子的电梯里，左侧镜子里的像会再次在右侧的镜子里成像，然后又被又映射回左侧的镜子中——会有无穷多的像，它们之间的关系如下图：

这样，考虑一个无限大的平面，依照上述关系设置不同区域内的激振力，带入第一节的公式进行计算，该系统在两个边界之间的变形就是有限结构的变形。

算例

来看一个算例吧，在一维标准波动方程上，我们假设如下的初始条件和激振力：
$\phi(x) = 0$
$\psi(x)=0$
$f(x,t)=\delta(x)F(t)$

这使得系统的解成为：
$u(x,t)=\frac{1}{2a}\int_{0}^{t-\frac{|x|}{a}}F(\tau)\text{d}\tau$

如果我们将 $F(t)$ 设置为之前计算过的只持续一个周期的正弦函数，那么就可以获得无界波传导的结果，其中几个点的时序响应：

近场的时-空响应动态图：

再考虑有界系统，设置边界为两端固支。这就要计算具有无穷多了点激励的无限大系统。我们可以分别计算由各个点激励造成的响应，再把它们叠加起来，由于结构是左右对称的，变化的只是激振力的正方向，因此只需要调整响应的正方向即可，不必重复计算。此外，更重要的是不必真正计算“无穷多个”激振力，因为那些离得较远的激振力产生的波要等较长的时间才能抵达，因此可以根据只让激振力在边界上反射少数的几次就可以了。